Написать сценарий в системе mathcad решения уравнения c помощью функции root

Написать сценарий в системе mathcad решения уравнения c помощью функции root Техника
  • ��������� ������ ����������� ��������� ���������� ������� ����� ��� ����������� ���������������� �������� �����. � ������� Mathcad �������� ��������� ����� ��������� ������ ��������� ����������� ��������;
  • ��������� ������ ���������� ���������� �������� ����� � ��������� ���������.
  • f(x) � ������� ����� ����� ��������� f(x) = 0;
  • x � ����������, ������������ ������� ��������� ������ ���������;
  • a, b (��������������) � �������������� �����, ����� ��� a < b, ������ �� ��������� [a, b] ��������� ������ ���� ������.
  1. ���� �����������, �������� � �������, �������� ��������� �����������.
  2. ��� ������������� ������������� ��������� �������� ��������� ���������� TOL � CTOL (Constraint Tolerance � ������ �����������).
  3. ���������� �������� ����� Given, ������� ��������� Mathcad, ��� ����� ������� ������� ���������.
  4. �������� ��������� � ����������� �� ����� ������� � ���� ���������� (���� ��� �������) � ����� �������, ������ � ��������� ���������� �����, ������ ��� ������ ������������ ��������� ��������� ������� Boolean (����������). ����������� ������������� ������������ ���������� ���� a ≤ x ≤ b.
  5. ����������� ������� Find ��� Minerr � ������� ������-������ ���������. � �������� ���������� ����� ������� ������������� ����� �������� � ������� ���������� � ��� �������, � ������� ������ ���� ����������� � ������ ��������������� �� �����.
  6. � ������ ������������� ������� Minerr ����������� ��������.
  • ������������� ����������;
  • ���������, ���������� ���� ≠;
  • ��������� (:=) ��� ���������� (Ξ — ������������ �����) ����������� ���������� � �������, �� ����������� ���������, � ������ �������� ������ ������� Find ��� Minerr;
  • ������ ���� �������. ������ ���� ������ ��������� ������ ���� ����� Given � ���� �������� �������.

Написать сценарий в системе mathcad решения уравнения c помощью функции root

  1. ������ �������;
  2. �������� ���������� ����� ����������� ��������;
  3. ������� ������ ������������� ��������, �������� ������������������ ������ �������� ���� Symbolics / Polynomial Coefficients (��������� / ������������ ��������);
  4. �������� ������ ������������� �������� � ����� ������;
  5. ������ ���������� v � ��������� �� �������� ������� ������������� ��������, ������� ��� ��������������� �� ������ ������;
  6. ��������� ������� polyroots(v) � �����-������ ���������, ��������, X:=polyroots(v);
  7. �������� ������ ������ ��������: X =.

Написать сценарий в системе mathcad решения уравнения c помощью функции root

  1. �������� ������� ������������� ��� ����������� ������� A;
  2. �������� ������� ��������� ������ b;
  3. �������� ������� ��� ���������� ������� ������� X:=A-1b;
  4. ��������� ������ ������� ������� X=.
  1. ��������� Mathcad Start / All Programs / Mathsoft Apps / Mathcad (���� / ��� ��������� / Mathsoft Apps / Mathcad).
  2. ��������� � ������ ����� �� ����� z:\ ����� �������� � ������ ���1, ����� ������������ ��������� �����. ����������� ���������� ��������� � �������� ������ (Ctrl + S).
  3. �������� ��������� ������� Insert / Text Region (������� / ������� ������) � ������ � ���� ��������� �����:
  1. � ����� ��������� ������� ������ �������, ���, ��������, ������� ���� � ����� ��������.
  2. ��������� ������� 1.

Написать сценарий в системе mathcad решения уравнения c помощью функции root

Написать сценарий в системе mathcad решения уравнения c помощью функции root

Написать сценарий в системе mathcad решения уравнения c помощью функции root

Написать сценарий в системе mathcad решения уравнения c помощью функции root

  1. ��������� ������� 2.

Написать сценарий в системе mathcad решения уравнения c помощью функции root

Написать сценарий в системе mathcad решения уравнения c помощью функции root

  1. ��������� ������� 3.

x:=0   y:=0   z:=0

Написать сценарий в системе mathcad решения уравнения c помощью функции root

Написать сценарий в системе mathcad решения уравнения c помощью функции root

Написать сценарий в системе mathcad решения уравнения c помощью функции root

Написать сценарий в системе mathcad решения уравнения c помощью функции root

Написать сценарий в системе mathcad решения уравнения c помощью функции root

Написать сценарий в системе mathcad решения уравнения c помощью функции root

Написать сценарий в системе mathcad решения уравнения c помощью функции root

Написать сценарий в системе mathcad решения уравнения c помощью функции root

К предыдущему разделу

К следующему разделу

Для
решения одного уравнения с одним неизвестным
используется функция root. Аргументами этой
функции являются выражение и переменная,
входящая в выражение. Ищется значение
переменной, при котором выражение обращается в
ноль. Функция возвращает значение переменной,
которое обращает выражение в ноль.

Первый аргумент есть либо функция,
определенная где-либо в рабочем документе, или
выражение. Выражение должно возвращать
скалярные значения.

Второй аргумент — имя переменной, которое
используется в выражении. Это та переменная,
варьируя которую Mathcad будет пытаться обратить
выражение в ноль. Этой переменной перед
использованием функции root необходимо
присвоить числовое значение. Mathcad использует его
как начальное приближение при поиске корня.

Рассмотрим пример, как найти a — решение
уравнения ex = x3. Для этого выполните
следующие шаги:

  • Определите начальное значение переменной x.
    Введите x:3. Выбор начального
    приближения влияет на корень, возвращаемый Mathcad
    (если выражение имеет несколько корней).

15-01.gif (927 bytes)

  • Определите выражение, которое должно быть
    обращено в ноль. Для этого перепишите уравнение ex
    = x3 в виде x3 — ex = 0. Левая часть
    этого выражения и является вторым аргументом
    функции root

  • Определите переменную a как корень
    уравнения. Для этого введите a:root(x^3[Space]-e^x[Space],x).

15-02.gif (1141 bytes)

  • Напечатайте a=, чтобы увидеть значение
    корня.

15-03.gif (996 bytes)

При использовании функции root имейте в виду
следующее:

  • Удостоверьтесь, что переменной присвоено
    начальное значение до начала использования
    функции root.

  • Для выражения с несколькими корнями, например x2
    — 1 = 0, начальное значение определяет корень,
    который будет найден Mathcad. На Рисунке 1 приведен
    пример, в котором функция root возвращает
    различные значения, каждое из которых зависит от
    начального приближения.
  • Mathcad позволяет находить как комплексные, так и
    вещественные корни. Для поиска комплексного
    корня следует взять в качестве начального
    приближения комплексное число.
  • Задача решения уравнения вида f(x) = g(x)
    эквивалентна задаче поиска корня выражения f(x) —
    g(x) =0. Для этого функция root может быть
    использована следующим образом:

root(f(x) — g(x), x)

Функция root предназначена для решения
одного уравнения с одним неизвестным. Для
решения систем уравнений используйте методику,
описанную в следующем разделе “Системы
уравнений”. Для символьного решения уравнений
или нахождения точного численного решения
уравнения в терминах элементарных функций
выберите Решить относительно переменной из
меню Символика. См. Главу “Символьные
вычисления
”.

15-04.gif (6652 bytes)


Рисунок 1: Использование графика и функции root
для поиска корней уравнения.

Что делать, когда функция root не сходится

Mathcad в функции root использует для поиска
корня метод секущей. Начальное значение,
присвоенное переменной x, становится первым
приближением к искомому корню. Когда значение
выражения f(x) при очередном приближении
становится меньше значения встроенной
переменной TOL, корень считается найденным, и
функция root возвращает результат.

Если после многих итераций Mathcad не может найти
подходящего приближения, то появляется
сообщение об ошибке “отсутствует сходимость”.
Эта ошибка может быть вызвана следующими
причинами:

  • Уравнение не имеет корней.
  • Корни уравнения расположены далеко от
    начального приближения.
  • Выражение имеет локальные максимумы или
    минимумы между начальным приближением и корнями.
  • Выражение имеет разрывы между начальным
    приближением и корнями.
  • Выражение имеет комплексный корень, но
    начальное приближение было вещественным (или
    наоборот).

Чтобы установить причину ошибки, исследуйте
график f(x). Он поможет выяснить наличие
корней уравнения f(x)=0 и, если они есть, то
определить приблизительно их значения. Чем
точнее выбрано начальное приближение корня, тем
быстрее функция root будет сходиться к точному
значению. roots;using plots to find

Некоторые советы по использованию функции root

В этом разделе приведены несколько советов по
использованию функции root:

  • Для изменения точности, с которой функция root ищет
    корень, можно изменить значение встроенной
    переменной TOL. Если значение TOL увеличивается,
    функция root будет сходиться быстрее, но ответ
    будет менее точен. Если значение TOL уменьшается,
    функция root будет сходиться медленнее, но
    ответ будет более точен. Чтобы изменить значение
    TOL в определенной точке рабочего документа,
    используйте определение вида TOL := 0.01. Чтобы
    изменить значение TOL для всего рабочего
    документа, выберите из меню Математика
    команду Встроенные переменные и введите
    подходящее значение в поле TOL. Нажав “OK”,
     выберите из меню Математика команду Пересчитать
    всё
    , чтобы обновить все вычисления в рабочем
    документе с использованием нового значения
    переменной TOL.
  • Если уравнение имеет несколько корней, пробуйте
    использовать различные начальные приближения,
    чтобы найти их. Использование графика функции
    полезно для нахождения числа корней выражения,
    их расположения и определения подходящих
    начальных приближений. Рисунок 1 показывает
    пример. Если два корня расположены близко друг от
    друга, можно уменьшить TOL, чтобы различить их.
  • Если f(x) имеет малый наклон около
    искомого корня, функция может сходиться к
    значению r, отстоящему от корня достаточно
    далеко . В таких случаях для нахождения более
    точного значения корня необходимо уменьшить
    значение TOL. Другой вариант заключается в замене
    уравнения f(x)=0 на g(x)=0, где

f1.gif (1280 bytes)



  • Для выражения f(x) с известным корнем a
    нахождение дополнительных корней f(x)
    эквивалентно поиску корней уравнения h(x)=0,
    где h(x)=f(x)/(x-a). Подобный
    приём полезен для нахождения корней,
    расположенных близко друг к другу. Часто бывает
    проще искать корень выражения h(x),
    определенного выше, чем пробовать искать другой
    корень уравнения f(x)=0, выбирая различные
    начальные приближения.

Решение уравнений с параметром

Предположим, что нужно решать уравнение
многократно при изменении одного из параметров
этого уравнения. Например, пусть требуется
решить уравнение для нескольких различных
значений параметра a. Самый простой способ
состоит в определении функции

f( a, x) := root(ex — a x2,
x)

Чтобы решить уравнение для конкретного
значения параметра a, присвойте значение
параметру a и начальное значение переменной x
как аргументам этой функции. Затем найдите
искомое значение корня, вводя выражение f(a,x)=.

Рисунок 2 показывает пример того, как такая
функция может использоваться для нахождения
корней исследуемого уравнения при различных
значениях параметра. Обратите внимание, что, хотя
начальное значение x непосредственно входит
в определение функции, нет необходимости
определять его в другом месте рабочего
документа.

15-05.gif (9673 bytes)


Рисунок 2: Определение функции пользователя с
функцией root.


Нахождение корней полинома

Для нахождения корней выражения, имеющего вид


лучше использовать функцию polyroots, нежели root.
В отличие от функции root, функция polyroots не
требует начального приближения. Кроме того,
функция polyroots возвращает сразу все корни, как
вещественные, так и комплексные. На Рисунках 3 и 4
приведены примеры использования функции polyroots.

Функция polyroots всегда возвращает
значения корней полинома, найденные численно.
Чтобы находить корни символьно, используйте
команду Решить относительно переменной из
меню Символика. См. Главу  “Символьные вычисления”.

15-06.gif (6443 bytes)

Рисунок 3: Использование функции polyroots для
решения задачи, изображенной на Рисунке 1.

15-07.gif (6582 bytes)

Рисунок 4: Использование функции polyroots для
поиска корней полинома.

В начало страницы
К предыдущему разделу
К следующему разделу

К предыдущему разделу

К следующему разделу

Этот раздел
содержит некоторые советы по поводу
эффективного использования процедур Mathcad,
предназначенных для решения систем уравнений.
Описана техника решения уравнений, содержащих
параметр.


Многократное решение уравнений

Методы, описанные до сих пор, эффективно
позволяют решать конкретную систему уравнений.
Однако они имеют следующие два ограничения:

  • Как только используется имя функции Find, это
    означает, что блок решения уравнений завершён.
    Если употребить эту функцию еще раз, появится
    сообщение об ошибке “нет соответствующего
    Given”
    .
  • Если в системе уравнений нужно изменить
    значения некоторых параметров или констант,
    чтобы изучить их влияние на решение системы,
    необходимо вернуться обратно в блок решения
    уравнений, чтобы изменить их.

Оба эти ограничения могут быть преодолены, если
прибегнуть к возможности Mathcad определять функции
с использованием блока решения  уравнений.

Если определить функцию с использованием
функции Find в правой части этого определения,
то определенная таким образом функция будет
решать систему уравнений каждый раз, когда она
вызывается. Таким образом можно преодолеть
первое ограничение.

Если эта функция имеет в качестве аргументов те
параметры, которые требуется изменять при
решении уравнений, можно просто изменять
значения аргументов этой функции. Это
преодолевает второе ограничение.

На Рисунке 14 приведен конкретный пример.
Коэффициент трения трубки f зависит от
диаметра трубки D, шероховатости и числа Рейнольдса R. Было бы
неплохо экспериментировать с различными
размерами трубки (D), сделанной из различных
материалов с различной шероховатостью ().

Уравнение на Рисунке 14 показывает связь между
этими параметрами. Учитывая вид уравнения, можно
отметить, что аналитически выразить значение
величины f через R, D и
нельзя.

Дополнительно:  Сильно греется ноутбук: что делать? |

Можно, однако, определить функцию с
использованием блока решения уравнений. Всякий
раз, когда вычисляется функция , Mathcad подставляет
заданные конкретные значения аргументов , D и R в блок решения
уравнений, решает уравнение относительно
неизвестного f и возвращает найденное
значение корня.

15-17.gif (7059 bytes)


Рисунок 14: Определение функции с
использованием блока решения уравнений
.

Предположим, что зафиксированы размер трубки и
ее материал (D и ), и нужно
исследовать зависимость трения от значений
числа Рейнольдса. Хотя функция на Рисунке 14 была
определена с использованием блока решения
уравнений, она обладает теми же самыми
свойствами, что и любая другая функция. Её можно
также использовать с дискретным аргументом.

На Рисунке 15 показано, как решать задачу и
построить график зависимости коэффициента
трения от числа Рейнольдса. Обратите внимание,
что, когда вместе с блоком решения уравнений
используется дискретный аргумент, Mathcad
фактически решает систему уравнений для каждого
значения дискретного аргумента. В результате
такой тип вычислений может потребовать
значительное количество машинного времени.

15-18.gif (7929 bytes)


Рисунок 15: Вектор решений.

Предыдущий пример включает в себя только одно
уравнение с одним неизвестным. Также возможно
многократно решать и систему уравнений при
различных значениях входящих в нее параметров.
Однако в этом случае требуется проявить
аккуратность при выводе результата, чтобы
избежать сообщения об ошибке “нескалярная
  величина”.

Пример, приведенный на Рисунке 16, является
параметризацией задачи из Рисунка 10.
Предположим, что ищется пересечение прямой и
окружности переменного радиуса R. Аналогично
примеру, приведенному на Рисунке 15, можно
определить функцию с использованием блока
решения уравнений. В этом случае функция может
быть определена следующим образом: F(R) :=
Find( x, y). Эта функция возвращает вектор
значений, элементы которого — x и y
содержат координаты точки пересечения.

Основное отличие от предыдущего примера
состоит в том, что определенная таким образом
функция для каждого значения параметра R
возвращает вектор, состоящий из двух элементов.
Если попытаться вывести найденный ответ, печатая
F(R)=, то это будет попытка вывести таким
образом не таблицу чисел (скаляров), а таблицу,
каждый элемент которой является вектором,
состоящим из двух элементов. Поэтому Mathcad не
может вывести ответ на экран и появляется
сообщение об ошибке “нескалярная величина
”.

15-19.gif (5461 bytes)


Рисунок 16: Как вывести три решения, каждое из
которых является вектором, состоящим из двух
элементов.


Решение одинаковых задач относительно разных
переменных

Иногда возникают задачи, в которых нужно
поменять ролями известные и неизвестные
переменные, входящие в уравнение. Например,
рассмотрим формулу, которая связывает годовую
процентную ставку по ссуде, величину ссуды, срок,
на который выдана ссуда, и сумму ежемесячных
платежей по ссуде. Если известны значения трех
любых величин из этих четырех, то можно разрешить
уравнение относительно оставшейся четвертой
величины и найти ее.

Рабочий документ Mathcad, приведенный на Рисунке 17,
показывает, что, если ссуда выдана под 12 % годовых
на 30 лет, и планируется ежемесячно выплачивать
$1000, то самая большая ссуда, удовлетворяющая этим
условиям, равна $97,218.33.

15-20.gif (6661 bytes)


Рисунок 17: Решение задачи для величины ссуды.

Сделав несколько простых изменений, можно
использовать тот же самый рабочий документ,
чтобы решить задачу о величине годовой
процентной ставке по ссуде. Предположим теперь,
что величина ссуды известна и равна $120,000. До
какой величины должна опуститься годовая
процентная ставка по ссуде, чтобы ежемесячные
выплаты по ней составляли бы $1000 в месяц? На
Рисунке 18 приведен ответ.

Если сравнить Рисунки 17 и 18, можно увидеть, что
они являются очень похожими. Основное различие
содержится в аргументе функции Find. Изменение
заданных и искомых переменных проводится путем
изменения аргумента функции Find.

15-21.gif (6636 bytes)


Рисунок 18: Решение задачи о годовом проценте по
ссуде.


Mathcad содержит функцию, очень похожую на функцию Find.
Она называется Minerr. Функция Minerr
использует тот же самый алгоритм, что и функция
Find
. Различие состоит в следующем. Если в
результате поиска решения не может быть получено
дальнейшее уточнение текущего приближения к
решению, Minerr возвращает это приближение.
Функция Find, в отличие от функции Minerr,
возвращает в этом случае сообщение об ошибке “решение
не найдено
”. Правила использования функции Minerr
такие же, как и функции Find.

Minerr обычно возвращает ответ,
который минимизирует соответствующий
функционал невязки (см. Приложение D), связанный с
решаемой задачей. Однако Minerr не может
проверить, реализует ли ответ абсолютный минимум
для функционала невязки. Если функция Minerr
используется в блоке решения уравнений,
необходимо всегда включать дополнительную
проверку достоверности получаемых результатов.
Встроенная переменная ERR дает величину невязки
для приближенного решения.ERR variable. Mathcad не имеет
встроенной переменной для покомпонентного
вывода вектора невязки на найденном
приближенном решении.


Minerr часто используется для решения некоторых
задач регрессии. На Рисунке 19 приведен пример, в
котором функция Minerr используется, чтобы
определить неизвестные параметры в
распределении Вейбулла. Функция genfit также
полезна для решения задач регрессии.

15-22.gif (9925 bytes)


Рисунок 19: Использование функции minerr для
решения задачи регрессии.


Использование символьного решения уравнений

В Mathcad обычно можно быстро и точно найти
численное значение корня с использованием
функции root. Но имеются некоторые задачи, для
которых возможности Mathcad позволяют находить
решения в символьном виде.

Решение уравнений в символьном виде позволяет
найти точные или приближенные корни уравнения:

  • Если решаемое уравнение имеет параметр, то
    решение в символьном виде может выразить искомый
    корень непосредственно через параметр. Поэтому,
    вместо того чтобы решать уравнение для каждого
    нового значения параметра, можно просто заменять
    его значения в найденном символьном решении.
  • Если нужно найти все комплексные корни
    полинома, степень которого меньше или равна 4,
    символьное решение даст их точные значения в
    одном векторе или в аналитическом или в цифровом
    виде. Используя символьный процессор, можно
    также найти полное решение для некоторых
    полиномов более высокой степени

В начало страницы
К предыдущему разделу
К следующему разделу

К предыдущему разделу

К следующему разделу

Mathcad
дает возможность решать также и системы
уравнений. Максимальное число уравнений и
переменных равно пятидесяти. В первой части
этого раздела описаны процедуры решения систем
уравнений. В заключительной части приведены
примеры и проведено обсуждение некоторых часто
встречающихся ошибок. Результатом решения
системы будет численное значение искомого корня.
Для символьного решения уравнений необходимо
использовать блоки символьного решения
уравнений. При символьном решении уравнений
искомый корень выражается через другие
переменные и константы.

Для решения системы уравнений выполните
следующее:

  • Задайте начальные приближения для всех
    неизвестных, входящих в систему уравнений. Mathcad
    решает уравнения при помощи итерационных
    методов. На основе начального приближения
    строится последовательность, сходящаяся к
    искомому решению.
  • Напечатайте ключевое слово Given. Оно
    указывает Mathcad, что далее следует система
    уравнений. При печати слова Given можно
    использовать любой шрифт, прописные и строчные
    буквы. Убедитесь, что при этом Вы не находитесь в
    текстовой области или параграфе.
  • Введите уравнения и неравенства в любом порядке
    ниже ключевого слова Given. Удостоверьтесь, что
    между левыми и правыми частями уравнений стоит
    символ =. Используйте [Ctrl]= для печати
    символа =. Между левыми и правыми частями
    неравенств может стоять любой из символов  <,
    >, f2.gif (841 bytes), и f3.gif (845 bytes) .
  • Введите любое выражение, которое включает
    функцию Find. При печати слова Find можно
    использовать шрифт любого размера, произвольный
    стиль, прописные и строчные буквы.

Функция Find возвращает найденное
решение следующим образом:

  • Если функция Find имеет только один аргумент,
    то она возвращает решение уравнения,
    расположенного между ключевым словом Given и
    функцией Find.
  • Если функция Find имеет более одного
    аргумента, то она возвращает ответ в виде
    вектора. Например, Find(z1, z2) возвращает
    вектор, содержащий значения z1 и z2 ,
    являющиеся решением системы уравнений.

Ключевое слово Given, уравнения и неравенства,
которые следуют за ним, и какое-либо выражение,
содержащее функцию Find, называются блоком
решения уравнений
.

На Рисунке 5 показан рабочий документ, который
использует блок решения уравнений для решения
одного уравнения с одним неизвестным. Так как
имеется только одно уравнение, то только одно
уравнение появляется между ключевым словом Given
и формулой, включающей функцию Find. Так как
уравнение имеет одно неизвестное, то функция Find
имеет только один аргумент. Для решения одного
уравнения с одним неизвестным можно также
использовать функцию root, как показано ниже:

a := root(x2 + 10 — ex , x)

15-08.gif (5085 bytes)


Рисунок 5: Блок решения уравнений для одного
уравнения с одним неизвестным.

Между ключевым словом Given и функцией Find в
блоке решения уравнений могут появляться
выражения строго определенного типа. Ниже
приведен список всех выражений, которые могут
быть использованы в блоке решения уравнений.
Использование других выражений не допускается.
Эти выражения часто называются ограничениями. В
таблице, приведенной ниже, через x и y
обозначены вещественнозначные скалярные
выражения, а через z и w обозначены любые
скалярные выражения.

Следующие выражения недопустимы
внутри блока решения уравнений:

  • Ограничения со знаком f4.gif (845 bytes) .
  • Дискретный аргумент или выражения, содержащие
    дискретный аргумент в любой форме.
  • Неравенства вида a < b < c.

Если необходимо включить полученный в блоке
решения уравнений результат в итерационный
процесс, обратитесь к разделу “Как
лучше искать корни
,” который находится ниже в
этой главе.

15-09.gif (6494 bytes)


Рисунок 6: Блок решения уравнений для системы из
двух уравнений с двумя неизвестными и
ограничениями на переменные в виде неравенств.

Блоки решения уравнений не могут быть вложены
друг в друга. Каждый блок решения уравнений может
иметь только одно ключевое слово Given и имя
функции Find. Можно, однако, определить функцию f(x)
:= Find(x) в конце одного блока решения уравнений и
затем использовать f(x) в другом блоке. Эта
возможность также обсуждена в разделе “Как лучше искать корни” ниже в
этой главе.

Как правило, нельзя использовать оператор
присваивания (выражения вида x:=1) внутри блока
решения уравнений. Mathcad помечает операторы
присваивания, которые находятся внутри блока
решения уравнений, сообщением об ошибке.

На Рисунке 6 показан блок решения уравнений, в
котором использованы некоторые виды ограничений
на искомое решение. Решаются два уравнения с
двумя неизвестными. В результате функция Find
содержит два аргумента, x и y, и возвращает
ответ в виде вектора с двумя компонентами.


Как использовать найденное решение

Функция Find, которая завершает блок решения
уравнений, может быть использована аналогично
любой другой функции. Можно произвести с этой
функцией следующие три действия:

  • Можно вывести найденное решение, напечатав
    выражение вида Find(variable) =. Пример приведен в
    верхней половине Рисунка 7.    Если
    решаются уравнения с несколькими неизвестными,
    то можно вывести вектор результатов, введя
    выражение вида Find(vari1, var2,…) =. Пример
    того, как это делается для системы двух уравнений
    с двумя неизвестными, приведен на Рисунке 8.
  • Можно определить переменную с использованием
    этой функции. Для этого в конце блока решения
    уравнений необходимо ввести выражение a := Find(x).
    Это удобно сделать, если требуется использовать
    решение системы уравнений в другом месте
    рабочего документа. Как только переменная a определена
    таким образом, она сразу же принимает значение
    искомого корня. Пример, иллюстрирующий такую
    возможность, приведен в нижней половине Рисунка
    7. Если функция Find возвращает вектор значений,
    можно ввести выражение variable := Find(vari1, var2,…).
    После такого определения переменная становится
    вектором (вместо скаляра). Можно также определить
    переменные, как показано на Рисунке 6.
  • Используя  Find, можно определить другую
    функцию. Для этого необходимо закончить блок
    решения уравнений выражением типа f(a, b, c,…)
    := Find(x, y, z,…). Эта конструкция
    удобна при многократном решении системы
    уравнений для различных значений некоторых
    параметров a, b, с, . . ., непосредственно
    входящих в систему уравнений. Эта методика
    описана в разделе “Как лучше
    искать корни
    ” ниже в этой главе.
Дополнительно:  LED Samsung UE40D6510WS дрожит изображение

15-10.gif (6134 bytes)

Рисунок 7: Можно отобразить результат,
полученный в блоке решения уравнений,
непосредственно либо присвоить его переменной
для дальнейшего использования.

15-11.gif (7382 bytes)


Рисунок 8: При решении системы уравнений с двумя
или большим числом неизвестных функция Find
возвращает вектор, имеющий число компонент,
равное числу неизвестных.

15-12.gif (7385 bytes)


Рисунок 9: Различные начальные приближения
приводят к различным решениям. Получено решение,
отличное от решения, приведенного на Рисунке 8.

15-13.gif (8098 bytes)


Рисунок 10: Добавление ограничений позволяет
найти другое решение.

Mathcad возвращает в блоке решения уравнений
только одно решение. Однако система уравнений
может иметь несколько различных решений. Если
одно из решений найдено, то для поиска других
решений можно использовать различные начальные
приближения либо дополнительные ограничения в
виде неравенств, которым найденное решение не
удовлетворяет. На Рисунке 9 показано, как иное
начальное приближение может приводить к другому
решению задачи, приведенной на Рисунке 8. На
Рисунке 10 показано, как добавить ограничения в
виде неравенства для поиска другого решения.


Что делать, когда Mathcad не может найти решения

Если в результате решения уравнений на
каком-либо шаге итераций не может быть найдено
более приемлемое приближение к искомому решению
по сравнению с предыдущим шагом, то поиск решения
прекращается, а функция Find помечается
сообщением об ошибке “решение не найдено”.

Если при поиске решения встречаются трудности,
то полезно вывести те или иные графики, связанные
с системой. Анализ графика может облегчить поиск
области, в которой может находиться искомое
решение. Это поможет выбрать подходящее
начальное приближение.

На Рисунке 11 приведена задача, для которой Mathcad
не смог найти решение.

15-14.gif (4979 bytes)


Рисунок 11: Пример задачи, решение которой не
может быть найдено в блоке решения уравнений.

Сообщение об ошибках “решение не найдено
при решении уравнений появляется, когда различие
между текущим приближением и приближением,
полученным на предыдущем шаге итераций, больше,
чем значение встроенной переменной TOL, и выполнено
одно из следующих условий:

  • Достигнута точка, из которой не может быть
    получено более точное приближение к решению.
  • Достигнута точка, из которой невозможно выбрать
    подходящее направление спуска — направление
    вдоль которого ищется следующее приближение. В
    связи с этим продолжать итерации невозможно.
  • Достигнут предел точности вычислений.
    Дальнейшие вычисления не увеличивают точность
    найденного решения вследствие влияния ошибок
    округления. Это часто случается, если
    установлено значение встроенной переменной TOL
    меньшее, чем 10-15.

Причиной появления этого сообщения об ошибке
может быть следующее:

  • Поставленная задача может не иметь решения.
  • Для уравнения, которое не имеет вещественных
    решений, в качестве начального приближения взято
    вещественное число. Если решение задачи
    комплексное, то оно не будет найдено, если только
    в качестве начального приближения не взято также
    комплексное число. На Рисунке 11 приведен
    соответствующий пример.
  • В процессе поиска решения последовательность
    приближений попала в точку локального минимума
    невязки. Метод поиска решения, который
    используется в Mathcad, не позволяет в этом случае
    построить следующее приближение, которое бы
    уменьшало невязку. Для поиска искомого решения
    пробуйте использовать различные начальные
    приближения или добавьте ограничения на
    переменные в виде неравенств, чтобы обойти точку
    локального минимума.
  • В процессе поиска решения получена точка,
    которая не является точкой локального минимума,
    но из которой метод минимизации не может
    определить дальнейшее направление движения.
    Метод преодоления этой проблемы — такой же, как
    для точки локального минимума: измените
    начальное приближение или добавьте ограничения
    в виде неравенств, чтобы миновать нежелательную
    точку остановки.
  • Возможно, поставленная задача не может быть
    решена с заданной точностью. Если значение
    встроенной переменной TOL слишком мало, то Mathcad
    может достигнуть точки, находящейся достаточно
    близко к решению задачи, но уравнения и
    ограничения при этом не будут выполнены с
    точностью, задаваемой переменной TOL. Попробуйте
    увеличить значение TOL где-нибудь выше блока
    решения уравнений.

Что делать, когда имеется слишком мало
ограничений

Если количество ограничений меньше, чем
количество переменных, Mathcad вообще не может
выполнить блок решения уравнений. Mathcad помечает в
этом случае функцию Find сообщением об ошибке “слишком
мало ограничений”.

Задача, аналогичная той, которая приведена на
Рисунке 12, называется недоопределенной.
Ограничений в ней меньше, чем переменных. Поэтому
ограничения не содержат достаточной информации
для поиска решения. Поскольку функция Find
имеет пять аргументов, Mathcad определяет, что
требуется решить два уравнения с пятью
неизвестными. Вообще говоря, такая задача обычно
имеет бесконечное число решений.

При использовании блока решения уравнений в
Mathcad необходимо задать количество уравнений по
крайней мере не меньшее, чем число искомых
неизвестных. Если зафиксировать значения
некоторых переменных, удастся решить уравнения
относительно оставшихся переменных. На Рисунке 13
показано, как, зафиксировав часть переменных,
решить недоопределенную задачу из Рисунка 12.
Поскольку функция  Find содержит только два
аргумента, z и w, Mathcad определяет
переменные x, y и v как имеющие
фиксированные значения 10, 50 и 0 соответственно.
Блок решения уравнений становится в этом случае
корректно определенным, потому что теперь
имеются только две неизвестных, z и w, и два
уравнения.

15-15.gif (6592 bytes)


Рисунок 12: Функция Find имеет пять аргументов,
поэтому Mathcad определяет, что требуется решить два
уравнения с пятью неизвестными.

15-16.gif (5575 bytes)


Рисунок 13: Проблема может быть решена, если
уменьшить количество аргументов функции Find.

В начало страницы
К предыдущему разделу
К следующему разделу

Порядок выполнения лабораторной
работы

Загрузить

Сохранить
в личной папке на диске :\ в папке \4 новый документ с именем ФИО_4,
лучше использовать латинские буквы. Производить сохранение регулярно в процессе
работы (+).

Вставить
текстовую область и ввести в поле документа текст:

Лабораторная работа №
4

Решение уравнений в
Math.

В
новой текстовой области ввести фамилию, имя, отчество и номер варианта.

Таблица 1 −

Решить полиномиальное уравнение (таблица
2).

Таблица 2 −

Порядок выполнения лабораторной
работы

Загрузить

Сохранить
в личной папке на диске :\ в папке \5 новый документ с именем ФИО_5,
лучше использовать латинские буквы. Производить сохранение регулярно в процессе
работы (+).

Вставить
текстовую область и ввести в поле документа текст:

Лабораторная работа №
5

Решение систем
уравнений в Math.

В
новой текстовой области ввести фамилию, имя, отчество и номер варианта.

Таблица 1 − Нелинейные системы уравнений

Таблица 2 − Системы линейных уравнений

Справочный материал и примеры

Система
обладает широкими возможностями численного решения систем уравнений.

Для решения систем нескольких уравнений и неравенств
используются функции или . Они входят в
состав вычислительного блока, который
включает в себя ключевое слово , набор уравнений и
неравенств и завершается одной из указанных вычисляющих функций в составе
какого-нибудь выражения.

Если в результате поиска не может быть получено решение с
заданной точностью, то функция ind выдает сообщение об ошибке. В этом случае можно
использовать функцию

приближенное решение системы уравнений (число уравнений должно быть
равно числу неизвестных). При использовании iner необходимо производить дополнительную проверку
достоверности результатов решения системы.

Всем неизвестным, входящим в систему, задается
начальное приближение.

При
необходимости присваиваются требуемые значения системным переменным и ( − Допуск ограничения).

Печатается
ключевое слово , которое указывает Mathcad,
что далее следует система уравнений.

Задаются уравнения и ограничения на поиск решения в
виде неравенств (если они имеются) в любом порядке, каждое в отдельном
формульном блоке, причем для записи используются операторы отношения палитры
(Логические). Допускается использование
двусторонних неравенств вида

Применяется
функция или в составе
какого-нибудь выражения. В качестве аргументов через запятую перечисляются
имена входящих в систему переменных в том порядке, в котором должны быть
расположены в ответе соответствующие им корни.

В
случае использования функции выполняется
проверка.

Внутри блока решения недопустимы следующие операции и
выражения:

выражения, содержащие знак ≠;

локальноеили глобальное
(≡) определение переменных и функций, за исключением выражения, в состав
которого входит функция

другой блок решения. Каждый блок должен содержать
только одно слово Given и одну
решающую функцию.

Написать сценарий в системе mathcad решения уравнения c помощью функции root

В случае появления ошибки, означающей, что решение не было
найдено, рекомендуется изменить начальное приближение или значения системных
переменных и .

Пример к заданию 1

Пример 1. Решить
систему уравнений

Написать сценарий в системе mathcad решения уравнения c помощью функции root

Отделим решения системы графически. Определим две функции
аргументов х и
соответственно, выразив для этого из первого уравнения системы , а второго − х.
Для более детального построения графика создадим ряды значений каждой из этих
ранжированных переменных:

Написать сценарий в системе mathcad решения уравнения c помощью функции root

Вставим графическую область. Аргументы по оси абсцисс и
ординат введем через запятую. После
форматирования график выглядит так:

Написать сценарий в системе mathcad решения уравнения c помощью функции root

Точка пересечения линий графиков функций является решением
системы. Укажем приблизительное значение абсциссы и ординаты точки пересечения
в качестве начального приближения:

Написать сценарий в системе mathcad решения уравнения c помощью функции root

Напечатаем ключевое слово ,
затем уравнения системы, каждое в отдельном блоке с использованием логического
знака равенства (+ =).
Решение уточним с помощью функции :

Написать сценарий в системе mathcad решения уравнения c помощью функции root

Так как находит
приближенное решение системы, то необходимо сделать проверку. Для этого зададим
значение системной переменной :=1.
Первый элемент вектора − это значение переменной , а второй − значение переменной . Подставим их в левую часть системы и вычислим, чему равна правая,
используя обычный знак «=» вывода результата:

Написать сценарий в системе mathcad решения уравнения c помощью функции root

Полученные значения совпадают
заданными. Значит, система решена правильно.

Решение систем линейных уравнений

Рассмотрим систему линейных алгебраических уравнений:

Написать сценарий в системе mathcad решения уравнения c помощью функции root

В матричном виде ее можно записать  =, где

Как известно, система линейных алгебраических уравнений
имеет решение, если ее определитель отличен от 0:

Написать сценарий в системе mathcad решения уравнения c помощью функции root

.

Умножим обе части матричного уравнения = на обратную матрицу коэффициентов при неизвестных
системы -1 слева:

Написать сценарий в системе mathcad решения уравнения c помощью функции root

. Учитывая, что

Написать сценарий в системе mathcad решения уравнения c помощью функции root

, вектор-столбец решений системы можно искать в виде

Этот прием используется в так:

задается
матрица коэффициентов при неизвестных системы ;

задается
столбец свободных членов ;

вводится
формула для нахождения решения системы

Написать сценарий в системе mathcad решения уравнения c помощью функции root

;

выводится
вектор решений системы

Написать сценарий в системе mathcad решения уравнения c помощью функции root

.

Кроме того, пакет имеет встроенную функцию

вектор-столбец решений
системы линейных алгебраических уравнений. Аргументами функции являются матрица коэффициентов при неизвестных системы
и столбец свободных членов. Порядок решения аналогичен ,
но вместо формулы

Написать сценарий в системе mathcad решения уравнения c помощью функции root

 используется

Написать сценарий в системе mathcad решения уравнения c помощью функции root

.

Реализовать метод Гаусса решения систем линейных уравнений
позволяет встроенная функция (),
возвращающая ступенчатый вид матрицы . Если в качестве
аргумента взять расширенную матрицу системы, то в результате применения получится матрица, на диагонали которой – единицы, а
последний столбец представляет собой столбец решений системы.

Пример к заданию 2

Пример 2. Решить
систему линейных уравненийделать
проверку.

Зададим всем неизвестным, входящим в систему уравнений,
произвольные начальные приближения, например:

Написать сценарий в системе mathcad решения уравнения c помощью функции root

Напечатаем слово . Установим визир
(курсор) ниже и наберем уравнения системы, каждое в своем блоке. Используем при
этом логический знак равенства ( + =).

После ввода уравнений системы напечатаем = (, , ) и получим решение системы в виде вектора, состоящего из
трех элементов:

Написать сценарий в системе mathcad решения уравнения c помощью функции root

Сделаем проверку, подставив полученные значения неизвестных
в уравнения системы, например, следующим образом

Написать сценарий в системе mathcad решения уравнения c помощью функции root

После набора знака «=» в каждой строке должен быть получен
результат, равный или приблизительно равный правой части системы. В данном примере
системная переменная = 1.

Написать сценарий в системе mathcad решения уравнения c помощью функции root

3-й способ.
Решение системы линейных уравнений матричным способом.

Создадим матрицу, состоящую из коэффициентов при неизвестных системы. Для
этого напечатаем = , вызовем окно создания массивов (+). Число строк () и столбцов () матрицы данной
системы равно 3. Заполним пустые места шаблона матрицы коэффициентами при
неизвестных системы, как показано ниже:

Написать сценарий в системе mathcad решения уравнения c помощью функции root

Зададим вектор b
свободных членов системы. Сначала напечатаем b=, затем вставим шаблон матрицы(+), где количество
строк (Rows) равно 3, а количество
столбцов (Columns) равно 1. Заполним
его:

Написать сценарий в системе mathcad решения уравнения c помощью функции root

Решим систему матричным способом по формуле

Написать сценарий в системе mathcad решения уравнения c помощью функции root

Решим систему с помощью функции :

Написать сценарий в системе mathcad решения уравнения c помощью функции root

Решение системы с помощью функции можно
представить так:

Написать сценарий в системе mathcad решения уравнения c помощью функции root

В последнем случае матрица ,
полученная путем объединения матрицы при неизвестных системы и столбца
свободных членов, является расширенной матрицей системы.

Для проверки правильности решения системы, полученного
матричным способом, достаточно вычислить произведение

Написать сценарий в системе mathcad решения уравнения c помощью функции root

, которое должно совпасть с вектором-столбцом свободных
членов :

Написать сценарий в системе mathcad решения уравнения c помощью функции root

<o

Как
найти начальное приближение корней уравнений?

Какие
функции для решения одного уравнения известны в Mathcad? В чем их отличие?

Как
системная переменная TOL влияет на решение уравнения?

Что
такое вычислительный блок и какова его структура?

Какой
знак равенства используется в блоке решения? Какой комбинацией клавиш вставляется
в документ?

Какие
выражения недопустимы внутри блока решения уравнения?

Справочный материал и примеры

Система
обладает широкими возможностями численного решения уравнений.

В ходе численного
решения
обычно выделяют два этапа:

корней − определение интервала нахождения
каждого корня или определение приблизительного значения корня. В системе
наиболее наглядным будет отделение корней уравнения графическим способом;

корней − нахождение численного значения корня с
указанной точностью.

Точность
нахождения корня устанавливается с помощью системной переменной (
− Допуск сходимости), которая по умолчанию равна 10-3. Чем
меньше значение ,
тем точнее, вообще говоря, находится корень уравнения. Однако оптимальным
является  = 10-5.
Переопределить значение
можно в окне математических свойств документа на вкладке (Встроенные
переменные) или присваиванием,
например,

Написать сценарий в системе mathcad решения уравнения c помощью функции root

.

Для решения одного
уравнения с одной неизвестной
предназначена встроенная функция , которая в общем виде задается

и возвращает значение переменной , при
котором функция ()
обращается в ноль. Аргументы функции :

) – функция
левой части уравнения
  


переменная, относительно которой требуется решить уравнение;

Для решения уравнений используются функции или
. Они входят в состав вычислительного блока, который включает в себя ключевое слово , набор уравнений и неравенств и завершается одной из
указанных вычисляющих функций в составе какого-нибудь выражения.

Если в результате поиска не может быть получено решение с
заданной точностью, то функция ind выдает сообщение об ошибке. В этом случае можно
использовать функцию

приближенное решение одного уравнения. При использовании iner необходимо
производить дополнительную проверку достоверности результатов решения.

Всем неизвестным, входящим в систему, задается
начальное приближение.

При
необходимости присваиваются требуемые значения системным переменным и ( − Допуск ограничения).

Печатается
ключевое слово , которое указывает Mathcad,
что далее следует система уравнений.

Задаются
уравнения и ограничения на поиск решения в виде неравенств (если они имеются) в
любом порядке, каждое в отдельном формульном блоке, причем для записи
используются операторы отношения палитры
(Логические).
Допускается использование двусторонних неравенств вида

Применяется
функция или в составе
какого-нибудь выражения. В качестве аргументов через запятую перечисляются
имена входящих в систему переменных в том порядке, в котором должны быть
расположены в ответе соответствующие им корни.

В
случае использования функции выполняется
проверка.

Внутри блока решения недопустимы следующие операции и
выражения:

выражения, содержащие знак ≠;

локальноеили глобальное
(≡) определение переменных и функций, за исключением выражения, в состав
которого входит функция

другой блок решения. Каждый блок должен содержать
только одно слово Given и одну
решающую функцию.

Написать сценарий в системе mathcad решения уравнения c помощью функции root

В случае появления ошибки, означающей, что решение не было
найдено, рекомендуется изменить начальное приближение или значения системных
переменных и .

Пример к заданию 1

Пример 1. Решить
уравнение

Написать сценарий в системе mathcad решения уравнения c помощью функции root

.

Решение данного уравнения будем проводить в два этапа:
отделение корней уравнения графически, уточнение корней уравнения.

Определим функцию , равную левой части данного уравнения, когда равна нулю:

Написать сценарий в системе mathcad решения уравнения c помощью функции root

Зададим ранжированную переменную на некотором
диапазоне с мелким шагом, например:

Написать сценарий в системе mathcad решения уравнения c помощью функции root

Вставим в документ графическую область. Для этого выберем
дважды пиктограмму с изображением графика Написать сценарий в системе mathcad решения уравнения c помощью функции root
 сначала на панели (Математика), затем на палитре графиков или выполним из главного меню последовательность команд
/ / (Вставка / График / Зависимость).

Снизу по оси абсцисс наберем , а сбоку
по оси ординат введем ).

Для появления графика щелкнем левой клавишей мыши вне
графической области.

Отформатируем график функции (). Для этого щелкнем правой клавишей
мыши в области графика и выберем в контекстном меню команду (Формат).
Установим пересечение осей графика (олько оси), добавим вспомогательные линии по координатным осям (
Вспомогательные линии).
Отменим при этом автосетку (Автосетка) и установим количество линий
сетки, равное 10.

Для подтверждения внесенных изменений нажмем последовательно
кнопки (Применить) и ОК.

После указанных преобразований график функции )
будет выглядеть следующим образом:

Написать сценарий в системе mathcad решения уравнения c помощью функции root

Из графика функции ) видно, что уравнение

Написать сценарий в системе mathcad решения уравнения c помощью функции root

 имеет три корня, которые
приблизительно равны: 1  -1; 2  1; 3  2,5.

Этап отделения корней завершен.

Уточним теперь корни уравнения различными способами.

1-й способ.
Присвоим начальное приближение переменной и укажем точность
поиска корня:

Написать сценарий в системе mathcad решения уравнения c помощью функции root

Уточним заданное приближение к значению корня с помощью
функции :

Написать сценарий в системе mathcad решения уравнения c помощью функции root

Написать сценарий в системе mathcad решения уравнения c помощью функции root

Выполним проверку, подтверждающую, что первый корень найден
с заявленной точностью:

Написать сценарий в системе mathcad решения уравнения c помощью функции root

Начальное приближение можно не задавать при использовании в
качестве аргументов границ отрезка нахождения
корня, например, второй корень можно уточнить:

Написать сценарий в системе mathcad решения уравнения c помощью функции root

2-й способ.
Присвоим начальное приближение переменой для
уточнения третьего корня:

Написать сценарий в системе mathcad решения уравнения c помощью функции root

Напечатаем служебное слово . Ниже
наберем () = 0,
используя логический знак равенства с панели (Логические) − комбинация клавиш + =. Еще ниже
напечатаем выражение 3 =() и вывод значения третьего корня 3 =.

Написать сценарий в системе mathcad решения уравнения c помощью функции root

Написать сценарий в системе mathcad решения уравнения c помощью функции root

ля
уточнения корня в данном примере установлена точность 0,0001. Поэтому
целесообразно изменить формат вывода результатов (4 знака после десятичного
разделителя) в окне форматирования результатов на вкладке .

Решение полиномиальных уравнений. Функция

Для решения полиномиальных уравнений вида

Написать сценарий в системе mathcad решения уравнения c помощью функции root

или нахождения всех корней полинома степени n, используют функцию

вектор-столбец длины n, состоящий из корней полинома, как
действительных, так и комплексных. Аргументом функции
является вектор v длины n + 1 < 100,
содержащий коэффициенты полинома.

Решить полиномиальное уравнение можно следующим образом:

выделить
переменную синим управляющим курсором;

создать
вектор коэффициентов полинома, выполнив последовательность команд главного меню
/ (Символика /
Коэффициенты полинома);

вырезать
вектор коэффициентов полинома в буфер обмена;

задать
переменную и присвоить ей значение вектора
коэффициентов полинома, вставив его непосредственно из буфера обмена;

применить
функцию () в
каком-нибудь выражении, например

получить
вектор корней полинома: =.

Доступ к каждому отдельному корню − элементу вектора − осуществляется с помощью индекса, например, =.

Пример к заданию 2

Пример 2. Решить
уравнение

Написать сценарий в системе mathcad решения уравнения c помощью функции root

.

Напечатаем левую часть уравнения, не приравнивая выражение к
0, и выделим синим курсором переменную x:

Написать сценарий в системе mathcad решения уравнения c помощью функции root

Выберем из главного меню /
(Символика / Коэффициенты полинома). Появившийся
вектор коэффициентов полинома выделим целиком синим курсором и вырежем в буфер
обмена, используя кнопкуырезать Написать сценарий в системе mathcad решения уравнения c помощью функции root
 на панели инструментов
(Форматирование) или комбинацию
клавиш +.

Напечатаем  := и вставим
вектор из буфера обмена, используя кнопкуставить Написать сценарий в системе mathcad решения уравнения c помощью функции root
 на панели инструментов или комбинацию клавиш +.

Для получения результата напечатаем () =:

Написать сценарий в системе mathcad решения уравнения c помощью функции root

Контрольные вопросы

Назовите
функции для решения систем уравнений в Mathcad и особенности их применения.
Дайте их сравнительную характеристику.

Что
такое вычислительный блок и какова его структура? Какой знак равенства
используется в блоке решения? Какой комбинацией клавиш вставляется в документ?

Какие
выражения недопустимы внутри блока решения уравнения?

Какие
способы решения систем линейных алгебраических уравнений реализуются в Mathcad?

Назовите
способы решения матричных уравнений.

Лабораторная
работа №5. Mathcad. Решение систем уравнений

Цель работы: Получить навыки решения систем линейных и
нелинейных уравнений средствами системы .

Лабораторная работа №4. Mathcad. Решение уравнений

Цель работы: Получить навыки решения алгебраических уравнений
средствами системы .

Оцените статью
Master Hi-technology
Добавить комментарий