What is the root system

Эта статья о корневых системах в математике. Для корневой системы растений см. Корень .

В математике , А корневая система является конфигурацией векторов в евклидове пространства , удовлетворяющие определенные геометрические свойства. Это понятие является фундаментальным в теории групп и алгебр Ли , особенно в теории классификации и представлений полупростых алгебр Ли . Поскольку группы Ли (и некоторые аналоги, такие как алгебраические группы ) и алгебры Ли стали важными во многих областях математики в течение двадцатого века, очевидно особая природа корневых систем противоречит количеству областей, в которых они применяются. Кроме того, схема классификации корневых систем по диаграммам Дынкина встречается в тех частях математики, которые не имеют явной связи с теорией Ли (например, теорией особенностей ). Наконец, корневые системы важны сами по себе, как в спектральной теории графов .

Определения и примеры

Шесть векторов корневой системы A ₂ .

В качестве первого примера, рассмотрим шесть векторов в 2-мерном евклидовом пространстве , R ² , как показано на изображении в правом; назовите их корнями . Эти векторы охватывают все пространство. Если рассматривать линию , перпендикулярную к любому корню, скажем , β , то отражение R ² в этой строке отправляет любой другой корень, скажем , α , к другому корню. Более того, корень, в который он отправляется, равен α + nβ , где n — целое число (в данном случае n равно 1). Эти шесть векторов удовлетворяют следующему определению и, следовательно, образуют корневую систему; этот известен как A ₂ .

Пусть E — конечномерное евклидово векторное пространство со стандартным евклидовым скалярным произведением, обозначенным через . представляет собой конечное множество ненулевых векторов (называемые ) , которые удовлетворяют следующие условия:

1. Корни охватывают E .
2. Единственный скалярные кратные корень , которые принадлежат в себя и .
   
   
   
   
3. Для каждого корня множество замыкается относительно перпендикулярную к .
   
   
   
4. ( Целостность ) Если и являются корнями в , то проекция на проходящую линию является целым или полуцелым числом,

Эквивалентный способ записи условий 3 и 4 следующий:

3. Для любых двух корней набор содержит элемент
   
   
   
4. Для любых двух корней число является

Некоторые авторы включают в определение корневой системы только условия 1–3. В этом контексте корневая система, которая также удовлетворяет условию целостности, называется кристаллографической корневой системой . Другие авторы опускают условие 2; тогда они называют корневые системы, удовлетворяющие условию 2, редуцированными . В этой статье предполагается, что все корневые системы являются редуцированными и кристаллографическими.

Ввиду свойства 3 условие целостности эквивалентно утверждению, что β и его отражение σ _α ( β ) различаются на целое число, кратное  α . Обратите внимание, что оператор

определяется свойством 4, не является внутренним продуктом. Он не обязательно симметричен и линейен только по первому аргументу.

Оценка корневой системы Ф есть размерность Е . Две корневые системы можно объединить, рассматривая евклидовы пространства, которые они охватывают, как взаимно ортогональные подпространства общего евклидова пространства. Корневая система, которая не возникает в результате такой комбинации, такая как системы A ₂ , B ₂ и G _2, изображенные справа, называется неприводимой .

В
корней корневой системы Φ — этоZ-подмодульE,порожденный Φ. Эторешеткав Е.

Группа Вейля корневой системы — это группа симметрии равностороннего треугольника

Группа из изометрии в  Е , порожденных отражениями через гиперплоскости , ассоциированные с корнями Ф называется группой Вейля Ф. Поскольку она точно действует на конечном множестве Φ, группа Вейля всегда конечна. Плоскости отражения — это гиперплоскости, перпендикулярные корням, обозначенные пунктирными линиями на рисунке ниже. Группа Вейля — это группа симметрии равностороннего треугольника, состоящего из шести элементов. В этом случае группа Вейля не является полной группой симметрии корневой системы (например, поворот на 60 градусов является симметрией корневой системы, но не элементом группы Вейля).

Оцените один пример

Есть только одна корневая система ранга 1, состоящая из двух ненулевых векторов . Эта корневая система называется .

Оцените два примера

В ранге 2 есть четыре возможности, соответствующие , где . На рисунке справа показаны эти возможности, но с некоторыми избыточностями: изоморфен и изоморфен .

Обратите внимание, что корневая система не определяется решеткой, которую она порождает: и обе генерируют , а генерируют , только два из пяти возможных типов решеток в двух измерениях

Всякий раз , когда Φ является системой корней в Е , и S представляет собой подпространство в Е , порожденное Ф = Ф П  S , то Ψ является системой корней в  S . Таким образом, исчерпывающий список четырех корневых систем ранга 2 показывает геометрические возможности для любых двух корней, выбранных из корневой системы произвольного ранга. В частности, два таких корня должны встречаться под углом 0, 30, 45, 60, 90, 120, 135, 150 или 180 градусов.

Системы корней, возникающие из полупростых алгебр Ли

Если является комплексной полупростой алгеброй Ли , мы можем построить корневую систему следующим образом. Мы говорим , что это из относительно если и существует какой — то такое , что

для всех . Можно показать, что существует внутренний продукт, для которого набор корней образует корневую систему. Корневая система является фундаментальным инструментом для анализа структуры и классификации ее представлений. (См. Раздел ниже, посвященный корневым системам и теории Ли.)

Концепция корневой системы была впервые введена Вильгельмом Киллингом примерно в 1889 году (по-немецки ). Он использовал их в своей попытке классифицировать все простые алгебры Ли над полем из комплексных чисел . Изначально Киллинг допустил ошибку в классификации, перечислив две исключительные корневые системы ранга 4, хотя на самом деле существует только одна, теперь известная как F ₄ . Позже Картан исправил эту ошибку, показав, что две корневые системы Киллинга изоморфны.

Киллинг исследовал структуру алгебры Ли , рассматривая то, что теперь называется . Затем он изучил корни , где . Здесь рассматривается как функция или как элемент двойственного векторного пространства . Этот набор корней образует внутри корневую систему , как определено выше, где внутренним продуктом является

Элементарные следствия аксиом корневой системы

Условие целочисленности для выполняется только для на одной из вертикальных прямых, а условие целочисленности для выполняется только для на одной из красных кружков. Любой β, перпендикулярный ), тривиально удовлетворяет обоим с 0, но не определяет неприводимую корневую систему. По модулю отражения для данного есть только 5 нетривиальных возможностей для и 3 возможных угла между в наборе простых корней. Подстрочные буквы соответствуют ряду корневых систем, для которых данное может служить первым корнем, а α — вторым корнем (или в как средние 2 корня).

Косинус угла между двумя корнями должен составлять половину квадратного корня из положительного целого числа. Это потому, что и являются целыми числами, по предположению, и

Поскольку единственными возможными значениями являются и , соответствующие углам 90 °, 60 ° или 120 °, 45 ° или 135 °, 30 ° или 150 ° и 0 ° или 180 °. Условие 2 говорит, что никакие скалярные числа, кратные кроме 1 и −1, не могут быть корнями, поэтому 0 или 180 °, которые соответствовали бы 2 , отсутствуют. На диаграмме справа показано, что угол 60 ° или 120 ° соответствует корням одинаковой длины, в то время как угол 45 ° или 135 ° соответствует соотношению длин, а угол 30 ° или 150 ° соответствует отношению длин. оф .

Итак, вот единственные возможности для каждой пары корней.

Положительные корни и простые корни

Меченые корни представляют собой набор положительных корней для корневой системы, с и быть простыми корни

Имея корневую систему, мы всегда можем выбрать (разными способами) набор . Это подмножество из таких , что

Если выбран набор положительных корней , элементы называются . Набор положительных корней можно построить, выбрав гиперплоскость, не содержащую корня, и установив все корни, лежащие на фиксированной стороне . Более того, таким образом возникает каждый набор положительных корней.

Элемент называется если он не может быть записан как сумма двух элементов . (Набор простых корней также называется для .) Набор простых корней является основой со следующими дополнительными специальными свойствами:

Для каждой корневой системы существует множество различных вариантов набора положительных корней или, что то же самое, простых корней, но любые два набора положительных корней отличаются действием группы Вейля.

Двойная корневая система, коронки и цельные элементы

Двойная корневая система

Если Φ является системой корней в Е , то кокорень & alpha ; ^∨ из корня а определяется

Набор коронок также образует корневую систему Φ ^∨ в E , называемую двойной корневой системой (или иногда обратной корневой системой ). По определению α ^{∨ ∨} = α, так что Φ — двойственная система корней к Φ ^∨ . Решетка в E, натянутая на Φ ^∨ , называется решеткой корорутов . Оба Φ и Φ ^∨ имеют ту же группу Вейля W , а для S в W ,

Если Δ — это набор простых корней для Φ, то Δ ^∨ — это набор простых корней для Φ ^∨ .

В описанной ниже классификации все корневые системы типа и вместе с исключительными корневыми системами являются самодуальными, что означает, что двойная корневая система изоморфна исходной корневой системе. В противоположность этому , и корневые системы двойственны друг к другу, но не изоморфны (кроме случаев , когда ).

Вектор в если его внутреннее произведение с каждым кореньем является целым числом:

Поскольку набор with образует основу для двойной корневой системы, чтобы убедиться, что она является целой, достаточно проверить указанное выше условие для .

Набор интегральных элементов называется решеткой весов, связанной с данной корневой системой. Этот термин происходит из теории представлений полупростых алгебр Ли , где целые элементы образуют возможные веса конечномерных представлений.

Определение корневой системы гарантирует, что сами корни являются неотъемлемыми элементами. Таким образом, всякая целочисленная линейная комбинация корней также является целой. Однако в большинстве случаев будут целые элементы, которые не являются целочисленными комбинациями корней. То есть в общем случае решетка весов не совпадает с решеткой корней.

Классификация корневых систем по диаграммам Дынкина

Картинки всех связанных диаграмм Дынкина

Корневая система неприводима, если она не может быть разбита на объединение двух собственных подмножеств , таких, что для всех и .

Неприводимые системы корней соответствуют определенным графам , диаграммам Дынкина имени Евгения Дынкина . Классификация этих графов представляет собой простой вопрос комбинаторики и индуцирует классификацию неприводимых корневых систем.

Построение диаграммы Дынкина

Для данной корневой системы выберите набор Δ простых корней, как в предыдущем разделе. Вершины присоединенной диаграммы Дынкина соответствуют корням в Δ. Между вершинами рисуем ребра в соответствии с углами следующим образом. (Обратите внимание, что угол между простыми корнями всегда составляет не менее 90 градусов.)

• Нет ребра, если векторы ортогональны,
• Ненаправленный одиночный край, если они составляют угол 120 градусов,
• Направленный двойной край, если они составляют угол 135 градусов, и
• Направленная тройная кромка, если они составляют угол 150 градусов.

Термин «направленная кромка» означает, что двойные и тройные кромки отмечены стрелкой, указывающей на более короткий вектор. (Думая о стрелке как о знаке «больше», становится ясно, в какую сторону должна указывать стрелка.)

Отметим, что по отмеченным выше элементарным свойствам корней правила построения диаграммы Дынкина также можно описать следующим образом. Без ребра, если корни ортогональны; для неортогональных корней — одинарное, двойное или тройное ребро в зависимости от того, составляет ли отношение длин более длинного к более короткому 1 ,, . В случае корневой системы, например, есть два простых корня, расположенные под углом 150 градусов (с отношением длины ). Таким образом, диаграмма Дынкина имеет две вершины, соединенные тройным ребром, со стрелкой, направленной от вершины, связанной с более длинным корнем, к другой вершине. (В этом случае стрелка немного избыточна, поскольку диаграмма эквивалентна в зависимости от направления стрелки.)

Классификация корневых систем

Хотя данная корневая система имеет более одного возможного набора простых корней, группа Вейля действует транзитивно при таком выборе. Следовательно, диаграмма Дынкина не зависит от выбора простых корней; определяется самой корневой системой. И наоборот, имея две корневые системы с одинаковой диаграммой Дынкина, можно сопоставить корни, начиная с корней в основании, и показать, что системы на самом деле одинаковы.

Таким образом, проблема классификации корневых систем сводится к проблеме классификации возможных диаграмм Дынкина. Корневая система неприводима тогда и только тогда, когда ее диаграммы Дынкина связны. Возможные схемы подключения показаны на рисунке. Индексы указывают количество вершин на диаграмме (и, следовательно, ранг соответствующей неприводимой корневой системы).

Если это корневая система, диаграмма Дынкина для двойной корневой системы получается из диаграммы Дынкина , сохраняя все те же вершины и ребра, но меняя направления всех стрелок. Таким образом, из их диаграмм Дынкина видно, что и двойственны друг другу.

Камеры Вейля и группа Вейля

Заштрихованная область — основная камера Вейля для основания.

Если это корневая система, мы можем рассматривать гиперплоскость, перпендикулярную каждому корню . Напомним, что это означает отражение относительно гиперплоскости и что — это группа преобразований, порожденная всеми ‘s. Дополнение набора гиперплоскостей разъединено, и каждый компонент связности называется . Если мы зафиксировали конкретный набор простых корней Δ, мы можем определить фундаментальную камеру Вейля, связанную с Δ, как набор таких точек , что для всех .

На рисунке показан случай корневой системы. «Гиперплоскости» (в данном случае одномерные), ортогональные корням, обозначены пунктирными линиями. Шесть секторов под углом 60 градусов — это камеры Вейля, а заштрихованная область — это основная камера Вейля, связанная с указанным основанием.

Основная общая теорема о камерах Вейля такова:

Теорема : группа Вейля действует свободно и транзитивно на камерах Вейля. Таким образом, порядок группы Вейля равен количеству камер Вейля.

В случае, например, группа Вейля имеет шесть элементов и есть шесть камер Вейля.

Связанный результат такой:

Теорема : зафиксируйте камеру Вейля . Тогда для всех , вейлевский-орбита содержит ровно одну точку в замыкании в .

Корневые системы и теория Ли

Неприводимые корневые системы классифицируют ряд связанных объектов в теории Ли, в частности следующие:

• простые комплексные алгебры Ли (см. обсуждение корневых систем, возникающих из полупростых алгебр Ли выше),
• односвязные комплексные группы Ли, которые являются простыми по модулю центров, и
• односвязные компактные группы Ли , простые по модулю центров.

В каждом случае, корни ненулевые веса этого присоединенного представления .

Теперь мы дадим краткое указание на то, как неприводимые корневые системы классифицируют простые алгебры Ли , следуя аргументам Хамфриса. Предварительный результат говорит, что полупростая алгебра Ли проста тогда и только тогда, когда ассоциированная система корней неприводима. Таким образом, мы ограничиваем внимание неприводимыми корневыми системами и простыми алгебрами Ли.

• Во-первых, мы должны установить, что для каждой простой алгебры существует только одна система корней. Это утверждение следует из результата, что подалгебра Картана в единственна с точностью до автоморфизма, из которого следует, что любые две подалгебры Картана дают изоморфные системы корней.
  
  
• Далее нам нужно показать, что для каждой неприводимой корневой системы может быть не более одной алгебры Ли, то есть что корневая система определяет алгебру Ли с точностью до изоморфизма.
• Наконец, мы должны показать, что для каждой неприводимой корневой системы существует ассоциированная простая алгебра Ли. Это утверждение очевидно для корневых систем типов A, B, C и D, для которых ассоциированные алгебры Ли являются классическими алгебрами. Затем можно анализировать исключительные алгебры в индивидуальном порядке. В качестве альтернативы можно разработать систематическую процедуру построения алгебры Ли из корневой системы, используя отношения Серра .

О связях между исключительными системами корней и их группами Ли и алгебрами Ли см. E ₈ , E ₇ , E ₆ , F ₄ и G ₂ .

Свойства неприводимых корневых систем

Неприводимые корневые системы названы в соответствии с соответствующими им связными диаграммами Дынкина. Существует четыре бесконечных семейства (A _n , B _n , C _n и D _n , называемые классическими системами корней ) и пять исключительных случаев ( исключительные системы корней ). Нижний индекс указывает ранг корневой системы.

В неприводимой корневой системе может быть не более двух значений длины ( α ,  α ) ^1/2 , соответствующих короткому и длинному корням. Если все корни имеют одинаковую длину, они по определению считаются длинными, а корневая система называется просто переплетенной ; это происходит в случаях A, D и E. Любые два корня одинаковой длины лежат на одной орбите группы Вейля. В неодносвязном пронизаны случаях В, С, G и F, корень решетка натянуто на короткие корни и длинные корни охватывают подрешетки, инвариантный относительно группы Вейля, равный г ² /2 раза кокорня решетки, где r — длина длинного корня.

Геометрическое расположение точек, основа теории Ли

В математике, a корневая система — это конфигурация векторов в евклидовом пространстве, удовлетворяющая определенным геометрическим свойствам. Это понятие является фундаментальным в теории групп Ли и алгебр Ли, особенно в теории классификации и представлений полупростых алгебр Ли. Поскольку группы Ли (и некоторые аналоги, такие как алгебраические группы ) и алгебры Ли стали важными во многих областях математики в течение двадцатого века, очевидная особая природа корневых систем противоречит количеству областей, в которых они используются. применяется. Кроме того, схема классификации корневых систем по диаграммам Дынкина встречается в частях математики, не имеющих явной связи с теорией Ли (например, теория сингулярностей ). Наконец, корневые системы важны сами по себе, как в теории спектральных графов.

Определения и примеры

Шесть векторов корневой системы A 2.

В качестве первого примера рассмотрим шесть векторов в 2-мерном евклидовом пространстве, R, как показано на изображении справа; назовите их корнями . Эти векторы охватывают все пространство. Если вы рассматриваете прямую , перпендикулярную любому корню, скажем β, то отражение R в этой строке отправляет любой другой корень, скажем α, другому корню. Более того, корень, в который он отправляется, равен α + nβ, где n — целое число (в данном случае n равно 1). Эти шесть векторов удовлетворяют следующему определению, поэтому они образуют корневую систему; это известно как A 2.

Определение

1. Корни span E.
2. Единственные скалярные кратные корня $\alpha \; \in \; \Phi \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; alpha\; \backslash \; in\; \backslash \; Phi\}$, принадлежащие $\Phi \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Phi\}$— это $\alpha \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; alpha\}$и $—\; \alpha \; \{\backslash \; displaystyle\; —\; \backslash \; alpha\}$.
3. для каждого корня $\alpha \; \in \; \Phi \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; alpha\; \backslash \; in\; \backslash \; Phi\}$, множество $\Phi \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Phi\}$закрывается под отражением через гиперплоскость , перпендикулярную $\alpha \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; alpha\}$.
4. (Integrality ) Если $\alpha \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; alpha\}$и $\beta \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; beta\}$корни в $\Phi \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Phi\}$, затем проекция $\beta \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; beta\}$на строку через $\alpha \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; alpha\}$является целым или полуцелым числом, кратным $\alpha \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; alpha\}$.

Эквивалентный способ записи условий 3 и 4 выглядит следующим образом:

3. Для любых двух корней $\alpha ,\; \beta \; \in \; \Phi \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; alpha,\; \backslash \; beta\; \backslash \; в\; \backslash \; Phi\}$набор $\Phi \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Phi\}$содержит элемент $\sigma \; \alpha \; (\beta ):\; =\; \beta \; —\; 2\; (\alpha ,\; \beta )\; (\alpha ,\; \alpha )\; \alpha .\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sigma\; \_\; \{\backslash \; alpha\}\; (\backslash \; beta):\; =\; \backslash \; beta\; -2\; \{\backslash \; frac\; \{(\backslash \; alpha,\; \backslash \; beta)\}\; \{(\backslash \; alpha,\; \backslash \; alpha)\}\}\; \backslash \; alpha.\}$
4. Для любые два корня $\alpha ,\; \beta \; \in \; \Phi \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; alpha,\; \backslash \; beta\; \backslash \; in\; \backslash \; Phi\}$, число $⟨\beta ,\; \alpha ⟩:\; =\; 2\; (\alpha ,\; \beta )\; (\; \alpha ,\; \alpha )\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; langle\; \backslash \; beta,\; \backslash \; alpha\; \backslash \; rangle:\; =\; 2\; \{\backslash \; frac\; \{(\backslash \; alpha,\; \backslash \; beta)\}\; \{(\backslash \; alpha,\; \backslash \; alpha)\}\}\}$— это целое число.

Некоторые авторы включают только условия 1–3 в определение корневой системы. В этом контексте корневая система, которая также удовлетворяет условию целостности, известна как кристаллографическая корневая система . Другие авторы опускают условие 2; затем они называют корневые системы, удовлетворяющие условию 2 редуцированными . В этой статье предполагается, что все корневые системы являются редуцированными и кристаллографическими.

С учетом свойства 3 условие целостности эквивалентно заявлению, что β и его отражение σ α (β) отличаются на целое число, кратное α. Обратите внимание, что оператор

$⟨\cdot ,\; \cdot ⟩:\; \Phi \; \times \; \Phi \; \to \; Z\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; langle\; \backslash \; cdot,\; \backslash \; cdot\; \backslash \; rangle\; \backslash \; двоеточие\; \backslash \; Phi\; \backslash \; times\; \backslash \; Phi\; \backslash \; to\; \backslash \; mathbb\; \{Z\}\}$

определен по свойству 4 не является внутренним продуктом. Он не обязательно симметричен и линейен только по первому аргументу.

ранг корневой системы Φ — это размерность E. Две корневые системы могут быть объединены, рассматривая евклидовы пространства, которые они охватывают, как взаимно ортогональные подпространства общего евклидова пространства. Корневая система, которая не возникает в результате такой комбинации, например, системы A 2, B 2 и G 2, изображенные справа, называется быть неприводимым .

решетка корневой системы Φ — это Z -подмодуль E, порожденный Φ. Это решетка в E.

группа Вейля

Группа Вейля корневой системы

$A\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; A\_\; \{2\}\}$

— группа симметрии равностороннего треугольника

Пример первого ранга

Примеры второго ранга

Всякий раз, когда Φ является корнем системы в E, и S — это подпространство в E, натянутое на Ψ = Φ ∩ S, то Ψ — корневая система в S. Таким образом, исчерпывающий список из четырех корневых систем ранга 2 показывает геометрические возможности для любых двух корней, выбранных из корневой системы произвольного ранга. В частности, два таких корня должны встречаться под углом 0, 30, 45, 60, 90, 120, 135, 150 или 180 градусов.

Системы корней, возникающие из полупростых алгебр Ли

$[ЧАС,\; Икс]\; =\; \alpha \; (ЧАС)\; Икс\; \{\backslash \; Displaystyle\; [Н,\; X]\; =\; \backslash \; альфа\; (Н)\; X\}$

История

Концепция корневой системы была первоначально введена Вильгельмом Киллингом около 1889 г. Wurzelsystem). Он использовал их в своей попытке классифицировать все простые алгебры Ли по полю комплексных чисел. Изначально Киллинг допустил ошибку в классификации, перечислив две исключительные корневые системы ранга 4, хотя на самом деле существует только одна, теперь известная как F 4. Позже Картан исправил эту ошибку, показав, что две корневые системы Киллинга изоморфны.

Элементарные следствия аксиом корневой системы

Условие целостности для

$⟨\beta ,\; \alpha ⟩\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; langle\; \backslash \; beta,\; \backslash \; alpha\; \backslash \; rangle\}$

выполняется только для β на одной из вертикальных линий, а условие целостности для

$⟨\alpha ,\; \beta ⟩\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; langle\; \backslash \; alpha,\; \backslash \; beta\; \backslash \; rangle\}$

выполняется только для β на одном из красных кружков. Любой β, перпендикулярный α (на оси Y), тривиально удовлетворяет обоим с 0, но не определяет неприводимую корневую систему.. Отражение по модулю, для данного α есть только 5 нетривиальных возможностей для β и 3 возможных угла между α и β в наборе простых корней. Подстрочные буквы соответствуют ряду корневых систем, для которых данное β может служить первым корнем, а α — вторым корнем (или в F 4 как средние 2 корня).

$⟨\beta ,\; \alpha ⟩\; ⟨\alpha ,\; \beta ⟩\; =\; 2\; (\alpha ,\; \beta )\; (\alpha ,\; \alpha )\; \cdot \; 2\; (\alpha ,\; \beta )\; (\beta ,\; \beta )\; =\; 4\; (\alpha ,\; \beta )\; 2\; |\; \alpha \; |\; 2\; |\; \beta \; |\; 2\; =\; 4\; cos\; 2\; \; (\theta )\; =\; (2\; cos\; \; (\theta ))\; 2\; \in \; Z.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; langle\; \backslash \; beta,\; \backslash \; alpha\; \backslash \; rangle\; \backslash \; langle\; \backslash \; alpha,\; \backslash \; beta\; \backslash \; rangle\; =\; 2\; \{\backslash \; frac\; \{(\backslash \; alpha,\; \backslash \; beta)\}\; \{(\backslash \; alpha,\; \backslash \; alpha)\}\}\; \backslash \; cdot\; 2\; \{\backslash \; frac\; \{(\backslash \; alpha,\; \backslash \; beta)\}\; \{(\backslash \; beta,\; \backslash \; beta)\}\}\; =\; 4\; \{\backslash \; frac\; \{(\backslash \; alpha,\; \backslash \; beta)\; ^\; \{2\}\}\; \{\backslash \; vert\; \backslash \; alpha\; \backslash \; vert\; ^\; \{2\}\; \backslash \; vert\; \backslash \; beta\; \backslash \; vert\; ^\; \{2\}\}\}\; =\; 4\; \backslash \; cos\; ^\; \{2\}\; (\backslash \; theta)\; =\; (2\; \backslash \; cos\; (\backslash \; theta))\; ^\; \{2\}\; \backslash \; in\; \backslash \; mathbb\; \{Z\}.\}$

Таким образом, вот единственные возможности для каждого пара корней.

Положительные корни и простые корни

Помеченные корни представляют собой набор положительных корней для корневой системы

$G\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; G\_\; \{2\}\}$

$\alpha \; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; alpha\; \_\; \{\; 1\}\}$

$\alpha \; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; alpha\; \_\; \{2\}\}$

, являющиеся простыми корнями

Двойная корневая система, коронки и интегральные элементы

Двойная корневая система

Если Φ — корневая система в E, коронка α корня α определяется равенством

$\alpha \; \vee \; =\; 2\; (\alpha ,\; \alpha )\; \alpha .\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; alpha\; ^\; \{\backslash \; vee\}\; =\; \{2\; \backslash \; over\; (\backslash \; alpha,\; \backslash \; alpha)\}\; \backslash ,\; \backslash \; alpha.\}$

Набор корневых корней также образует корневую систему Φ в E, называемую двойная корневая система (или иногда обратная корневая система). По определению α = α, так что Φ — двойственная система корней к Φ. Решетка в E, натянутая на Φ, называется решеткой корорутов. И Φ, и Φ имеют одну и ту же группу Вейля W, и для s в W

$(s\; \alpha )\; \vee \; =\; s\; (\alpha \; \vee ).\; \{\backslash \; displaystyle\; (s\; \backslash \; alpha)\; ^\; \{\backslash \; vee\}\; =\; s\; (\backslash \; alpha\; ^\; \{\backslash \; vee\}).\}$

Если Δ — это набор простых корней для Φ, то Δ — это набор простых корней для Φ.

Интегральные элементы

$2\; (\lambda ,\; \alpha )\; (\alpha ,\; \alpha )\; \in \; Z,\; \alpha \; \in \; \Phi .\; \{\backslash \; displaystyle\; 2\; \{\backslash \; frac\; \{(\backslash \; lambda,\; \backslash \; alpha)\}\; \{(\backslash \; alpha,\; \backslash \; alpha)\}\}\; \backslash \; in\; \backslash \; mathbb\; \{Z\},\; \backslash \; quad\; \backslash \; alpha\; \backslash \; in\; \backslash \; Phi.\}$

Набор интегральных элементов называется решеткой весов, связанной с данной корневой системой. Этот термин происходит от теории представлений полупростых алгебр Ли, где целые элементы образуют возможные веса конечномерных представлений.

Определение корневой системы гарантирует, что сами корни являются составными элементами. Таким образом, всякая целочисленная линейная комбинация корней также является целой. Однако в большинстве случаев будут целые элементы, которые не являются целочисленными комбинациями корней. То есть в общем случае решетка весов не совпадает с решеткой корней.

Классификация корневых систем по диаграммам Дынкина

Изображения всех связанных диаграмм Дынкина

Неприводимые корневые системы соответствуют некоторым графикам, диаграммам Дынкина им. Евгения Дынкина. Классификация этих графов является простым делом комбинаторики и приводит к классификации неприводимых корневых систем.

Построение диаграммы Дынкина

Для корневой системы выберите набор Δ из простых корней, как в предыдущем разделе. Вершины присоединенной диаграммы Дынкина соответствуют корням в Δ. Края между векторами проводят в соответствии с углами следующим образом. (Обратите внимание, что угол между простыми корнями всегда составляет не менее 90 градусов.)

• Без ребра, если векторы ортогональны,
• Одинарное неориентированное ребро, если они составляют угол 120 градусов,
• Направленная двойная кромка, если они составляют угол 135 градусов, и
• Направленная тройная кромка, если они составляют угол 150 градусов.

Термин «направленная кромка» означает, что двойные и тройные кромки отмечены стрелкой, указывающей в сторону более короткого вектора. (Если рассматривать стрелку как знак «больше», становится ясно, в каком направлении стрелка должна указывать.)

Классификация корневых систем

Хотя данная корневая система имеет более одного возможного набора простых корней группа Вейля действует транзитивно при таком выборе. Следовательно, диаграмма Дынкина не зависит от выбора простых корней; она определяется самой корневой системой. И наоборот, имея две корневые системы с одной и той же диаграммой Дынкина, можно сопоставить корни, начиная с корней в основании, и показать, что системы фактически одинаковы.

Таким образом, проблема классификации корневых систем сводится к проблеме классификации возможных диаграмм Дынкина. Корневая система неприводима тогда и только тогда, когда ее диаграммы Дынкина связны. Возможные схемы подключения показаны на рисунке. Нижние индексы указывают количество вершин на диаграмме (и, следовательно, ранг соответствующей неприводимой корневой системы).

Камеры Вейля и группа Вейля

Заштрихованная область — основная камера Вейля для основания

$\{\alpha \; 1,\; \alpha \; 2\}\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; \{\backslash \; alpha\; \_\; \{1\},\; \backslash \; alpha\; \_\; \{2\}\; \backslash \}\}$

Основная общая теорема о камерах Вейля такова:

Теорема : группа Вейля действует свободно и транзитивно на камерах Вейля. Таким образом, порядок группы Вейля равен количеству камер Вейля.

Связанный результат следующий:

Теорема : исправить камеру Вейля $C\; \{\backslash \; displaystyle\; C\}$. Тогда для всех $v\; \in \; E\; \{\backslash \; displaystyle\; v\; \backslash \; in\; E\}$орбита Вейля $v\; \{\backslash \; displaystyle\; v\}$содержит ровно одну точку в закрытие $C\; ¯\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; bar\; \{C\}\}\}$из $C\; \{\backslash \; displaystyle\; C\}$.

Корневые системы и теория Ли

Неприводимые корневые системы классифицируют ряд связанных объектов в теории Ли, в частности следующие:

• простые комплексные алгебры Ли (см. обсуждение выше о корневых системах, возникающих из полупростых алгебр Ли),
• односвязные комплексные группы Ли которые являются простыми центрами по модулю, и
• односвязными компактными группами Ли, которые являются простыми центрами по модулю.

В каждом случае корни являются ненулевыми весами присоединенного представления.

• Во-первых, мы должны установить, что для каждой простой алгебры $g\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathfrak\; \{g\}\}\}$существует только одна корневая система. Это утверждение следует из того, что подалгебра Картана в $g\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathfrak\; \{g\}\}\}$единственна с точностью до автоморфизма, из чего следует, что любые две подалгебры Картана дают изоморфный корень систем.
• Затем нам нужно показать, что для каждой неприводимой корневой системы может быть не более одной алгебры Ли, то есть что корневая система определяет алгебру Ли с точностью до изоморфизма.
• Наконец, мы должны показать, что для каждой неприводимой корневой системы существует соответствующая простая алгебра Ли. Это утверждение очевидно для корневых систем типов A, B, C и D, для которых ассоциированные алгебры Ли являются классическими алгебрами. Тогда можно анализировать исключительные алгебры в индивидуальном порядке. В качестве альтернативы можно разработать систематическую процедуру построения алгебры Ли из корневой системы, используя отношения Серра.

. О связях между исключительными корневыми системами и их группами Ли и алгебрами Ли см. E8, E7, E6, F4 и G2.

Свойства неприводимых корневых систем

Неприводимые корневые системы именуются в соответствии с соответствующими им связными диаграммами Дынкина. Существует четыре бесконечных семейства (A n, B n, C n и D n, называемых классическим корнем системы ) и пять исключительных случаев (исключительные корневые системы ). Нижний индекс указывает ранг корневой системы.

В неприводимой корневой системе может быть не более двух значений длины (α, α), соответствующих коротким и длинным корням. Если все корни имеют одинаковую длину, они по определению считаются длинными, а корневая система называется просто зашнурованной ; это происходит в случаях A, D и E. Любые два корня одинаковой длины лежат на одной орбите группы Вейля. В не просто связанных случаях B, C, G и F решетка корней натянута на короткие корни, а длинные корни покрывают подрешетку, инвариантную относительно группы Вейля, равную r / 2, умноженному на решетку корней, где r это длина длинного корня.

Явное построение неприводимых корневых систем

AnМодель корневой системы $A\; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; A\_\; \{3\}\}$в Zometool

Пусть E будет подпространством R, для которого сумма координат равна 0, и пусть Φ будет набором векторов в E длины √ 2, которые являются целочисленными векторами, т.е. имеют целые координаты в R . Такой вектор должен иметь все координаты, кроме двух, равные 0, одну координату, равную 1, и одну, равную –1, так что всего имеется n + n корней. Один из вариантов выбора простых корней, выраженных в стандартном базисе : αi= ei– ei + 1 для 1 ≤ i ≤ n.

Отражение σiчерез гиперплоскость, перпендикулярную αi, совпадает с перестановкой соседнего i — -я и (i + 1 ) -я координаты. Такие транспозиции генерируют полную группу перестановок. Для смежных простых корней σ i(αi + 1) = αi + 1 + αi= σ i + 1 (αi) = αi+ αi + 1, что есть отражение эквивалентно сложению числа, кратного 1; но отражение простого корня, перпендикулярного несмежному простому корню, оставляет его без изменений, отличаясь кратным 0.

Корневая решетка A n, то есть решетка, порожденная A n корней — проще всего описать как набор целочисленных векторов в R, сумма компонентов которых равна нулю.

Корневая решетка A 2 — это расположение вершин треугольной мозаики .

Корневая решетка A 3 известна кристаллографам как гранецентрированная кубическая (или кубическая плотноупакованная ) решетка.. Это расположение вершин решетки тетраэдрически-октаэдрические соты.

Корневая система A 3 (как и другие корневые системы третьего ранга) может быть смоделирована в Zometool Construction set.

В общем, n решетка корней — это расположение вершин n-мерной простой соты.

Bn

Пусть E = R, и пусть Φ состоит из всех целочисленных векторов в E длины 1 или √2. Общее количество корней 2n. Один из вариантов простых корней: αi= ei– ei + 1, для 1 ≤ i ≤ n — 1 (выбор простых корней выше для An − 1), а более короткий корень αn= en.

Отражение σ n через гиперплоскость, перпендикулярную короткому корню αn, конечно, просто отрицание n-й координаты. Для длинного простого корня αn − 1, σ n − 1 (αn) = αn+ αn − 1, но для отражения, перпендикулярного короткому корню, σ n(αn − 1) = αn − 1 + 2 αn, разница кратна 2 вместо 1.

Корень B n решетка, то есть решетка, порожденная корнями B n, состоит из всех целочисленных векторов.

B1изоморфен A 1 посредством масштабирования на √2, и поэтому не является отдельной корневой системой.

CnКорневая система B 3, C 3 и A 3=D3как точки внутри куба и октаэдра

Пусть E = R, и пусть Φ состоит из всех целочисленных векторов в E длины √2 вместе со всеми векторами формы 2λ, где λ — целочисленный вектор длины 1. Общее количество корней 2n. Один из вариантов простых корней: αi= ei– ei + 1 для 1 ≤ i ≤ n — 1 (выбор простых корней выше для An − 1), а более длинный корень αn= 2 en. Отражение σ n(αn − 1) = αn − 1 + αn, но σ n − 1 (αn) = αn+ 2 αn − 1.

Решетка корней C n, то есть решетка, порожденная корнями C n, состоит из всех целочисленных векторов, сумма компонентов которых равна четному целому числу.

C2изоморфен B 2 посредством масштабирования на √2 и поворота на 45 градусов, и поэтому не является отдельной корневой системой.

Dn

Пусть E = R, и пусть Φ состоит из всех целочисленных векторов в E длины √2. Общее количество корней 2n (n — 1). Один из возможных вариантов простых корней: αi= ei– ei + 1, для 1 ≤ i < n − 1 (the above choice of simple roots for An − 1) плюс αn= en+ en − 1.

Отражение через гиперплоскость, перпендикулярную αnто же самое, что , транспонирующий и отменяющий соседние n-ю и (n — 1) -ю координаты. Любой простой корень и его отражение, перпендикулярное другому простому корню, отличаются от второго корня кратным 0 или 1, а не большим кратным.

Решетка корней D n, то есть решетка, порожденная корнями D n, состоит из всех целочисленных векторов, сумма компонентов которых равна четному целому числу. Это то же самое, что и решетка корней C n.

D3совпадает с A 3 и поэтому не является отдельной корневой системой. 12 корневых векторов D 3 выражены как вершины , конструкция с более низкой симметрией кубооктаэдра .

D4имеет дополнительную симметрию, называемую тройственностью. 24 корневых вектора D 4 выражаются как вершины , конструкции с более низкой симметрией 24-элементного.

E6, E 7, E 8

$D\; 8\; \cup \; \{1\; 2\; (\sum \; i\; =\; 1\; 8\; \epsilon \; iei):\; \epsilon \; i\; =\; \pm \; 1,\; \epsilon \; 1\; \cdots \; \epsilon \; 8\; =\; +\; 1\}.\; \{\backslash \; Displaystyle\; D\_\; \{8\}\; \backslash \; чашка\; \backslash \; left\; \backslash \; \{\{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; \backslash \; left\; (\backslash \; sum\; \_\; \{i\; =\; 1\}\; ^\; \{8\}\; \backslash \; varepsilon\; \_\; \{i\}\; \backslash \; mathbf\; \{e\}\; \_\; \{i\}\; \backslash \; right):\; \backslash \; varepsilon\; \_\; \{i\}\; =\; \backslash \; pm\; 1,\; \backslash ,\; \backslash \; varepsilon\; \_\; \{1\}\; \backslash \; cdots\; \backslash \; varepsilon\; \_\; \{8\}\; =\; +\; 1\; \backslash \; right\; \backslash \}.\}$

В корневой системе есть 240 корней. Только что перечисленный набор — это набор векторов длины √2 в корневой решетке E8, также известный как решетка E8 или Γ 8. Это набор точек в R таких, что:

1. все координаты являются целыми числами или все координаты являются полуцелыми числами (смесь целых чисел и полуцелые числа не допускаются), и
2. сумма восьми координат является четным целым числом.

$E\; 8\; =\; \{\alpha \; \in \; Z\; 8\; \cup \; (Z\; +\; 1\; 2)\; 8:\; |\; \alpha \; |\; 2\; =\; \sum \; \alpha \; i\; 2\; =\; 1,\; \sum \; \alpha \; i\; \in \; 2\; Z.\; \}\; \{\backslash \; displaystyle\; E\_\; \{8\}\; =\; \backslash \; left\; \backslash \; \{\backslash \; alpha\; \backslash \; in\; \backslash \; mathbb\; \{Z\}\; ^\; \{8\}\; \backslash \; cup\; (\backslash \; mathbb\; \{Z\}\; +\; \{\backslash \; tfrac\; \{1\}\; \{2\}\})\; ^\; \{8\}\; :\; |\; \backslash \; alpha\; |\; ^\; \{2\}\; =\; \backslash \; sum\; \backslash \; alpha\; \_\; \{i\}\; ^\; \{2\}\; =\; 1,\; \backslash ,\; \backslash \; sum\; \backslash \; alpha\; \_\; \{i\}\; \backslash \; in\; 2\; \backslash \; mathbb\; \{Z\}.\; \backslash \; right\; \backslash \}\}$

• Корневая система E 7 — это набор векторов в E 8, которые перпендикулярны фиксированному корню в E 8. Корневая система E 7 имеет 126 корней.
• Корневая система E 6 не является набором векторов в E 7, которые перпендикулярны к фиксированному корню в E 7, действительно, таким образом получается D 6. Однако E 6 является подсистемой E 8, перпендикулярной двум соответствующим образом выбранным корням E 8. Корневая система E 6 имеет 72 корня.

Альтернативное описание E 8 Решетка, которая иногда удобна, представляет собой набор Γ ‘8 всех точек в R таких, что

• все координаты являются целыми числами, а сумма координат четна, или
• все координаты являются полуцелыми числами, а сумма координат нечетная.

Решетки Γ 8 и Γ ‘8 равны изоморфный ; переходить от одного к другому можно, меняя знаки любого нечетного числа координат. Решетка Γ 8 иногда называется четной системой координат для E 8, тогда как решетка Γ ‘8 называется нечетной системой координат.

Один из вариантов простых корней для E 8 в четной системе координат со строками, упорядоченными по порядку узлов в альтернативных (неканонических) диаграммах Дынкина (см. Выше):

αi= ei– ei +1, для 1 ≤ i ≤ 6, и

α7= e7+ e6

(указанный выше выбор простых корней для D 7) вместе с

$\alpha \; 8\; =\; \beta \; 0\; =\; —\; 1\; 2\; (\sum \; i\; =\; 1\; 8\; ei)\; =\; (-\; 1/2,\; —\; 1/2,\; —\; 1/2,\; —\; 1/2,\; —\; 1/2,\; —\; 1/2,\; —\; 1/2,\; —\; 1/2).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{\backslash \; alpha\}\; \_\; \{8\}\; =\; \backslash \; mathbf\; \{\backslash \; beta\}\; \_\; \{0\}\; =\; —\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; \backslash \; left\; (\backslash \; sum\; \_\; \{i\; =\; 1\}\; ^\; \{8\; \}\; e\_\; \{i\}\; \backslash \; right)\; =\; (-\; 1/2,\; -1\; /\; 2,\; -1\; /\; 2,\; -1\; /\; 2,\; -1\; /\; 2,\; -1\; /\; 2,\; -1\; /\; 2,\; -1\; /\; 2).\}$

Один выбор простых корней для E 8 в нечетной системе координат со строками, упорядоченными по Порядок узлов в альтернативных (неканонических) диаграммах Дынкина (выше):

αi= ei– ei + 1, для 1 ≤ i ≤ 7

(указанный выше выбор простых корней для A 7) вместе с

α8= β5, где

βj= $1\; 2\; (-\; \sum \; i\; =\; 1\; jei\; +\; \sum \; i\; =\; j\; +\; 1\; 8\; ei).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; (-\; \backslash \; textstyle\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\; =\; 1\}\; ^\; \{j\}\; e\_\; \{i\}\; +\; \backslash \; textstyle\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\; =\; j\; +\; 1\}\; ^\; \{\; 8\}\; e\_\; \{i\}).\}$

Поскольку перпендикулярность к α1означает, что первые две координаты равны, E 7 тогда является подмножеством E 8, где первые две координаты равны, и аналогично E 6 — это подмножество E 8, где первые три координаты равны. Это облегчает явное определение E 7 и E 6 как:

E7= {α∈ Z∪ (Z + ½) : ∑αi+ α1= 2, ∑ αi+ α1∈ 2 Z},

E6= {α∈ Z∪ (Z + ½) : ∑αi+ 2 α1= 2, ∑ αi+ 2 α1∈ 2 Z}

Обратите внимание, что удаление α1, а затем α2дает наборы простых корней для E 7 и E 6. Однако эти наборы простых корней находятся в разных подпространствах E 7 и E 6 E 8, чем написанные выше, поскольку они не ортогональны α1или α2.

F448-корневых векторах F4, определенные вершинами 24-ячейки и ее двойника, рассматриваемые в Coxeter плоскость

Корневая решетка F 4, то есть решетка, порожденная F 4 корневая система — это набор точек в R таких, что либо все координаты являются целыми числами, либо все координаты являются полуцелыми числами (a сочетание целых и полуцелых чисел не допускается). Эта решетка изоморфна решетке кватернионов Гурвица.

G2

Корневая система G 2 имеет 12 корней, которые образуют вершины a гексаграмма. См. Рисунок выше.

Один из вариантов простых корней: (α1, β= α2– α1), где αi= ei– ei + 1 для i = 1, 2 — это выбранный выше выбор простых корней для A 2.

Решетка корней G 2, то есть решетка, порожденная корнями G 2, такая же, как решетка корней A 2.

Корневой poset

диаграмма Хассе E6 корневой poset с метками краев, определяющими добавленную простую корневую позицию

Литература

• Adams, JF (1983), Лекции по группам Ли, University of Chicago Press, ISBN 0-226-00530-5
• Бурбаки, Николас (2002), группы Ли и алгебры Ли, Главы 4–6 (перевод с французского оригинала Эндрю Прессли 1968 года), Elements of Mathematics, Springer-Verlag, ISBN 3-540-42650-7 . Классический справочник по корневым системам.
• Bourbaki, Nicolas (1998). Элементы истории математики. Springer. ISBN 3540647678 .
• А.Дж. Коулман (лето 1989 г.), «Величайшая математическая статья всех времен», The Mathematical Intelligencer, 11 (3): 29–38, doi : 10.1007 / bf03025189
• Холл, Брайан К. (2015), Группы Ли, алгебры Ли и представления: элементарное введение, Graduate Texts in Mathematics, 222 (2-е изд.), Springer, ISBN 978-3319134666
• Хамфрис, Джеймс (1992). Группы отражений и группы Кокстера. Издательство Кембриджского университета. ISBN 0521436133 .
• Хамфрис, Джеймс (1972). Введение в алгебры Ли и теорию представлений. Springer. ISBN 0387900535 .
• Killing, Die Zusammensetzung der stetigen endlichen Transformationsgruppen Mathematische Annalen, Часть 1 : Том 31, номер 2, июнь 1888 года, страницы 252 –290 doi : 10.1007 / BF01211904 ; Часть 2 : Том 33, номер 1, март 1888 года, страницы 1–48 doi : 10.1007 / BF01444109 ; Часть 3 : Том 34, номер 1, март 1889 г., страницы 57–122 doi : 10.1007 / BF01446792 ; Часть 4 : Том 36, номер 2, июнь 1890 г., страницы 161–189 doi : 10.1007 / BF01207837
• Кац, Виктор Г. (1994), Бесконечномерные алгебры Ли.
• Спрингер Т.А. (1998). Линейные алгебраические группы, второе издание. Birkhäuser. ISBN 0817640215 .

Дополнительная литература

• Дынкин, Э. Б. Строение полупростых алгебр. Успехи матем. НАУК 2, (1947). нет. 4 (20), 59–127.

Слайд 1
Ministry education and Science of Republic of KazakhstanKaraganda

State University named after academician Ye.A. Buketov

geographical faculty

Course – Botany
Specialty — 5В011300 – «Biology»

Root and root systems. Metamorphosis of roots. Anatomical structure of root

Lecturer: candidate of biological science, associated professor
Ishmuratova Margarita Yulaevna

Слайд 2
Plan of lecture

of root.
2 Anatomical structure of root.
3 Metamorphosis of root.

Слайд 3
Main literatures

и морфологии растений. – Минск: Новое знание, 2002. –

185 с.
2 Родман А.С. Ботаника. – М.: Колос, 2001. —

Additional literatures:
1 Ишмуратова М.Ю. Ботаника. Учебно-методическое пособие. — Караганда: РИО Болашак-Баспа, 2015. — 331 с.
2 Тусупбекова Г.Т. Основы естествознания. Ч. 1. Ботаника. – Астана: Фолиант, 2013. – 321 с.
3 Байтулин И.О. Основы ризологии. — Алматы: Гылым, 2001. – 210 с.

Слайд 4
The root – is a vegetative organ of

plant, conducted in typical case the function of soil

nutrition. Root is a organ with redial symmetry and capable

for non-final growth by apical meristem. Root is differ from stalk because it does not create leaves, and apical meristem is covered by pileorhiza.

Functions of root:
1) Roots make vertical base for growth of plants;
2) Roots are synthesized different compounds which after transport in other organs of plants;
3) In root can be storage some nutrition compounds;
4) Roots communicate with root of other plants, microorganisms, mushrooms, located in soil.

Слайд 5
Type of root systems of plantsА – system

of main root; Б – system of additional roots;

В – separated root systems (А and В – taproot

systems; Б – fibrillose root system)

Слайд 6
I – pileorhiza; II – zone of duplication

and growing; III – zone of intake; IV –

beginning of transport zone: 1 – growing lateral root; 2

– root hair; 3 – rhizoderm; 3а – exoderm; 4 – primary bark; 5 – endoderm; 6 – per cycle; 7 – central cylinder

General view (А) and lateral cut (Б) of root end

Слайд 8
Cross cut of root of pumpkin 1 –

primary xylem; 2 – secondary xylem; 3 – cambium;

4 – secondary phloem; 5 – primary vascular ray; 6

– cork; 7 – parenchyma of secondary bark

Слайд 9
Cross cut of root of Salix in the

end of the first vegetative period

Слайд 10
Root crop of carrot (1, 2), turnip (3,

4) and beet (5, 6, 7)
(on the cross cut

the xylem marked by black color; horizontal line – a

border between stalk and root)

Слайд 11
Metamorphosis of roots1 – bulbotuber of gladiolus with

contractile roots; 2 – breathing roots with pneumatophors of

avicenia (пр – zone of tide); 3 – air root

Слайд 12
Metamorphosis of roots1 – walking roots of corn;

2 – root of banyan; 3 – walking root

of rhizophore (пр – zone of tide; от – zone

of low tide; ил – cover of mud bottom)

Слайд 13
Control questions

additional functions of roots?
2 Which root systems are

characterized for monocotyledons and dicotyledonous plants?
3 Which additional function act

the roots in processes of metamorphoses?
4 Describe the functions of air and contractile roots.
5 How do roots create symbiosis with bacteria?
6 Which type of roots have storage function?

Слайд 14
Test questions

plant is created:
А) main root
В) air roots
С) additional roots
Д)

xylem
Е) phloem

 Tissues which transferee only organic compounds:
А) mechanic tissues
В) phloem

С) basic parenchyma
Д) sclerenchyma
Е) collenchymas

Здравствуйте, уважаемые посетители, читатели, други и недруги, постоянные клиенты и прочие личности сайта.

Мы продолжаем цикл статей, посвященных Linux-системам. Сегодня мы поговорим о таких важных (может быть, и не совсем простых) понятиях, как:

• Файловая система ;
• Основные каталоги корневой файловой системы;
• Консольные команды для работы с файлами и каталогами.